Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

Anterior Siguiente
4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
b) $b_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}$

Respuesta

Ahora queremos calcular este límite:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}$

Si seguimos los mismos pasos que en el item anterior, te vas a dar cuenta que nuevamente cada cociente tiende a $+\infty$ ...pero entonces ahora nos estaría quedando un "infinito menos infinito" 😱 Eso es una indeterminación y tenemos que hacer algo para salvarla, no podemos saber a priori cuánto nos va a dar ese límite. 

Algo que muchas veces es útil cuando nos enfrentamos a estas indeterminaciones es tratar de reescribirla, para llevarla a otra indeterminación que sepamos salvar (por ejemplo, una infinito sobre infinito) ¿Se te ocurre cómo podemos reescribir esta expresión? Y, podemos por ejemplo hacer explícitamente esa resta de fracciones y llevarla a una única fracción, así:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{(n^2 - 5n + 7)(n + 1) - (n^2 + 5)(n + 3)}{(n + 3)(n + 1)}\right).$

Reacomodamos un poco la situación, hacemos despacito las distributivas arriba y abajo...

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^3 + n^2 - 5n^2 - 5n + 7n + 7 - n^3 - 3n^2 - 5n - 15}{n^2 + 4n + 3} $

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-7n^2 -3n - 8}{n^2 + 4n + 3}$

Perfecto! Y ahora esto se convirtió en una indeterminación "infinito sobre infinito", con un cociente de polinomios, igualito a los que estuvimos resolviendo en el Ejercicio anterior... ¿Qué hacemos? Y dale, sacamos factor común el que manda... 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(-7 - \frac{3}{n} - \frac{8}{n^2})}{n^2(1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})}$

Simplificamos y tomamos límite...

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-7 - \frac{3}{n} - \frac{8}{n^2}}{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}} = -7$

Moraleja de este ejercicio: Para salvar las indeterminaciones "infinito menos infinito" no hay un único camino. Ahora vamos a ver un montón de problemas donde estas indeterminaciones las vamos a salvar "multiplicando y dividiendo por el conjugado", pero en otros escenarios usaremos otras herramientas, como acá 😃
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Juan 4 de mayo 19:54
Hola Flor, puede ser que la suma del polinomio de grado uno esté mal? porque no me dan los números jajaja. Si - 5n + 7n - 5n = -3n? 
Avatar Juan 4 de mayo 20:00
https://www.youtube.com/watch?v=bhMHRO7Nl_Q&list=PLTFGa_OpvT12YuHr83vQiKbTS7CQoHMQM&index=5&ab_channel=FlorCutraro En el video pusiste -3n, asi que me quedo tranqui. Disculpa por las molestias.

Avatar Flor Profesor 5 de mayo 10:19
@Juan Juannnn! Gracias por avisarme! Siiii, hice mal la cuenta cuando lo hice acá en texto jaja, ahí lo acabo de editar 😊
Avatar Benjamin 18 de abril 20:07
Buenas, tengo una duda, no entiendo de donde sale el (n+1) y el (n+3) cuando reescribimos toda la resta de polinomios, osea cuando esta todo entre parentesis, tipo no entiendo por que y para que se ponen los divisores de cada fraccion arriba.
Avatar Flor Profesor 18 de abril 21:18
@Benjamin
Para hacer esta resta y que quede así:

$\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1} = \left(\frac{(n^2 - 5n + 7)(n + 1) - (n^2 + 5)(n + 3)}{(n + 3)(n + 1)}\right).$

usé lo que vimos en la clase de "Operaciones con Fracciones", en la parte de Ejercicios Preliminares. Si todavía no viste esa clase es clave, porque parece una boludez pero después este tipo de situaciones aparecen todo el tiempo! Fijate si viendo la explicación queda más claro lo que hice, y sino avisame y lo seguimos charlando
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse